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广东省遂溪第一中学高三一轮复*--同角三角函数基本关系式与诱导公式(共24张PPT)_图文

发布时间:

第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式

考纲要求

题 型

1.理解同角三角函数的基本关系

式:sin2α+cos2α=1,α =tanα.

α



2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 择

±α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导 题
2

公式.

命题规律
本节内容是三角函数的基 础,高考一般不单独命题,常常 以诱导公式作为基础内容,综合 同角关系式及三角变换进行考 查.

1.同角三角函数的基本关系

(1)*方关系:_s_in_2_α_+__c_o_s_2α_=__1___.

(2)商数关系:_cs_oin_s_αα_=_t_a_n_α_.

2.特殊角的三角函数值

00
0

300
? 6

4 5 0 6 0 0 9 0 0 1200 1350

?

?

?

2? 3?

4

3

2

3

4

sin ? 0

1 2

2

3

1

3

2

2

2

2

2

cos? 1 3 2

2

1

2

2

0

?1 2

?2 2

tan? 0

31

3

? 3 ?1

3

1500 1800

5?

?

6

1 2

0

? 3 -1 2

?3

0

3

3.三角函数的诱导公式 (注意:把 ? 看作锐角来记公式,但实质?上 可以是任意

公式



二三







2kπ+α



π+α -α π-α

-α

+α

(k∈Z)

正弦

sin α

-__s_in__α_ -__s_in__α ___si_n_α__

_c_o_s_α_

c_o_s__α

余弦

cos α

_-_c_o_s_α_ _c_o_s_α_ _-__c_o_s_α

__s_in__α

_-__si_n_α_

正切

tan α

_ta_n__α_ -__ta_n__α _-__t_a_n_α_

口诀

函数名不变,符号看象限

函数名改变,符号看象限

判断正误

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( )

(2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.( )

(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.( )

(4)若 sin(kπ-α)=13(k∈Z),则 sin α=13.( )

解析/显隐

目录

考点一 同角三角函数基本关系式的应用

[例 1] (1)(2015·福建卷)若 sin α =-153,且 α 为第四象限角,

则 tan α 的值等于( )

12 A. 5

B.-152

5 C.12

D.-152

解析 (1)∵sin α=-153,且 α 为第四象限角,

∴cos α=

1-sin2α=1123,

注意:此类题一定要留意
? 所在象限,以确定

∴tan α=csoins αα=-152,故选 D.

取正负。

变式:把“ ? 为第四象限角去掉”

目录

思考:sin??cos?
sin?cos?
sin??cos? 三者之间可以互相转化, 三者之间有什么关系? 达到知一求二
(sin ?? c o s?)2? 1 ? 2 sin ?c o s? (sin ?? c o s?)2? 1 ? 2 sin ?c o s?
?? ?? ?? ( s in? c o s) 2 ? ( s in? c o s) 2 ? 4 s inc o s
目录

考点一 同角三角函数基本关系式的应用

[例 1] (2)(2017·贵阳模拟)已知 sin

α

cos

α

=81,且5π4 <α

3π <2



则 cos α -sin α 的值为( )

A.-

3 2

3 B. 2

C.-43

3 D.4

解析(2) ∵54π<α<32π, ∴cos α<0,sin α<0 且 cos α>sin α,

∴cos α-sin α>0.

判断符号是本 题关键所在

又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34,

∴cos α-sin α= 23.
目录

《创新设计》51页诊断自测第4题

4.已知 sin θ+cos θ=43,θ∈???0,π4???,则 sin θ-cos θ 的值为( B )

2 A. 3

B.-

2 3

1 C.3

D.-13

《创新设计》第52页训练1

【训练 1】 (1)已知 sin α-cosα= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )

A.-1

B.-

2 2

2

C. 2

D.1

目录

《创新设计》第51页诊断自测第5题

5.(必修

4P22B3

改编)已知

tan

α=2,则ssiinn

α+cos α-cos

αα的值为___3_____.

《创新设计》第52页训练1(2) (2)若 3sin α+cosα=0,则cos2α+21sin αcos α的值为( A )

10 A. 3

5 B.3

2 C.3

D.-2

目录

考点一 同角三角函数基本关系式的应用

A [例 1] (3)(2016·全国Ⅲ卷)若 tan α =34,则 cos2α +2sin 2α =(

)

64 A.25

48 B.25

C.1

16 D.25

解析(3) tan α=34,则 cos2α+2sin 2α =cocos2sα2α++2ssiinn22αα

=11++4ttaann2αα=6245.

最大特点是:关于sinx、 cosx的二次齐次式

目录

练*:

1.已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=?( D )

A.-?4 3

B.5? 4

C.-34 ?

D4.? 5

2.已知α∈??? ?? , 32,?ta??? n α=2,则cos α=

-

5 5

.

目录

考点一 同角三角函数基本关系式的应用
规律方法
(1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化, 利用csoins αα=tan α 可以实现角 α 的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1- cos2α,cos2α=1-sin2α.
目录

考点二 诱导公式的应用

[例

2]

(1)化简:sin(-1

200°)cos

1

290°+cos(-1

020°)·sin(-1

050°); 简答

化简的规则:负化正,大化小,小化锐,锐求值。统一 名,统一角,统角名少最好。
(1)原式=-sin 1200°cos 1290°-cos 1020°sin 1050°

= - sin(3×360° + 120°)cos(3×360° + 210°) - cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°
=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)

=sin

60°cos

30°+cos

60°sin

30°=

3 2×

23+12×12=1.

目录

考点二 诱导公式的应用 [例 2]

(2)求值:设 f(α)=2sin(1+πsi+n2αα)+cocso(s????3π2π-+αα)????--sicno2s????π(2 π++α???? α)(1+2sin α ≠0),



f????-236π

?
??的值.
?

此类题,一般先化简再代入求值

解析 (2)∵f(α)=(-12+sinsiαn)2α(+-sincoαs-αc)os+2αcos α =2si2nsαinc2oαs+α+sincoαs α

=csions

α(1+2sin α(1+2sin

α) α)

=tan1 α,

∴f???-236π???=tan???-1 236π???

=tan???-14π+π6???=tan1

π= 6

3.

目录

考点二 诱导公式的应用
规律方法 (1)诱导公式的两个应用
①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. ②化简:统一角,统一名,同角名少为终了. (2)含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π 的整数倍的三角 函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算,如 cos(5π-α) =cos(π-α)=-cos α.
目录

考点二 诱导公式的应用

[训练 2] (1)已知 A=sin(skinπα+α)+cos(ckoπs α+α)(k∈Z),则 A 的值构成的集

合是( )

A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}

C.{2,-2}

D.{1,-1,0,2,-2}

解析 (1)当 k 为偶数时,A=ssiinn αα+ccooss αα=2;

k 为奇数时,A=-sisninαα-ccooss αα=-2.

目录

考点二 诱导公式的应用

[训练

2]

(2)化简:tan(cπos-(α-)αc-osπ()2πsi-n(α)-sπin-????-αα)+32π

? ? ?
?=______.

解析

(2)原式=cos(-πta+nαα)·c·o(s α-·(sin-(coπs+αα)))

=ta-n αc·ocsoαs·αs·incoαs α

=csion-s ααs·incoαs

α =-1.

答案 (1)C (2)-1

目录

《创新设计》第51页诊断自测第3题

3.已知 sin???52π+α???=15,那么 cos α=( C )

A.-25

B.-15

1

2

C.5

D.5

4.已知 s i n ? ? 1 ,且?
5
cos(???)?__2__ 5 _ 6 ____

为第二象限角,那么

像此类求值问题首先观察能用诱导公式化简的先化简,再求值

目录

考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用

[例题

3]

(1)已知

tan????π6

?
-α??=
?

33,则

tan????56π

+α????=________.

(2)(2017·衡水模拟)已知 cos????51π2 +α????=13,且-π <α <-π2 ,则 cos????π12-α????等于( )

22 A. 3

1 B.3

C.-31

D.-2 3 2

解析 (1)∵????56π+α????+????π6-α????=π,

本类题一般从研究前后角的和(或差)入手
(2)因为????152π+α????+????1π2-α????=π2,

∴tan????56π+α????=tan????π-????π6-α???????? 所以 cos????1π2-α????=sin????π2-????1π2-α????????=sin????51π2+α????.

=-tan????π6-α????=-

3 3.

因为-π<α<-π2,所以-71π2<α+51π2<-1π2.
目录

考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用

[例

3]

(1)已知

tan????π6

?
-α??=
?

33,则

tan????56π

+α????=________.

(2)(2017·衡水模拟)已知 cos????51π2 +α????=13,且-π <α <-π2 ,则 cos????π12-α????等于( )

22 A. 3

1 B.3

C.-31

D.-2 3 2

又 cos????51π2+α????=13>0, 所以-π2<α+51π2<-1π2,

所以 sin????51π2+α????=- 1-cos2????51π2+α????

=-

1-????13????2=-2

3

2 .

答案

(1)-

3 3

(2)D

目录

考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用
规律方法 (1) 常见的互余的角:
π3-α 与π6+α;π3+α 与π6-α;π4+α 与π4-α 等. (2) 常见的互补的角:
π3+θ 与23π-θ;π4+θ 与34π-θ 等.
目录

考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用

[训练

3]

(1)已知

sin????π3

-α????=12,则

cos????π6

+α???=________.
?

(2)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x,当 0≤x<π 时,f(x)=0,



f????236π

?
??=(
?

)

A.21

B.

3 2

C.0

D.-12

解析 (1)∵???π3-α???+???π6+α???=π2, ∴cos???π6+α???=cos???π2-???π3-α??????

=sin???π3-α???=12.

(2)由 f(x+π)=f(x)+sin x,得 f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)

=f(x)+sin x-sin x=f(x), 所以 f????263π????=f????161π+2π???? =f????161π????=f????π+56π????=f????56π????+sin56π. 因为当 0≤x<π 时,f(x)=0.

所以 f????263π????=0+12=21.

答案

1 (1)2

(2)A

目录

思想方法

1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主要作 用是进行三角函数的求值、化简和证明,已知一个角的某一三角函数值,求这个角的 其它三角函数值时,要特别注意*方关系的使用.
2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:

(1)弦切互化法:主要利用公式

tan

x=csoins

xx进行切化弦或弦化切,如acssiinn

x+bcos x+dcos

x, x

asin2x+bsin xcos x+ccos2x 等类型可进行弦化切. (2)和积转换法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ 的关系进行变形、转化.

(3) 巧 用 “1” 的 变 换 : 1 = sin2θ + cos2θ = cos2θ(1 + tan2θ) = sin2θ ???1+tan12θ??? = tan

π 4

=….

目录

易错防范
1.利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的三角函数为 锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的*方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化
目录



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