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全国高校自主招生数学模拟试卷12

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全国高校自主招生数学模拟试卷十二 一、选择题(36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结 论正确的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a 2.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得AEBE=FCDF=λ (0<λ<+ ∞),记 f(λ)=αλ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角,βλ 表示 EF 与 BD 所成的角, A 则 (A) f(λ)在(0,+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0,+∞)单调减少 E (C) f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少 B (D) f(λ)在(0,+∞)为常数 3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 C 972,则这样的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 4.在*面直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线为椭圆,则 m 的 取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 5.设 f(x)=x2-πx,? ? arcsin31,β=arctan45,γ=arcos(-13),?=arccot(-54),则 (A)f(α)>f(β)>f(?)>f(γ) (B) f(α)> f(?)>f(β)>f(γ) (C) f(?)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f(?)>f(α)>f(γ)>f(β) 6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 D F 二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.设 x,y 为实数,且满足???((yx--11))33++11999977((xy--11))==-1.1,则 x+y ? . 2.过双曲线 x2-y22=1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数 λ 使得|AB| ?λ 的直线 l 恰有 3 条,则 λ= . 3.已知复数 z 满足??2z+1z??=1,则 z 的幅角主值范围是 . 4.已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2, 设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到*面 ABC 的距离为 . 5.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也 停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 6.设 a ?logz+log[x(yz)?1+1],b ?logx?1+log(xyz+1),c ?logy+log[(xyz)?1+1],记 a,b,c 中 最大数为 M,则 M 的最小值为 . 三、(20 分) 设 x≥y≥z≥1π2,且 x+y+z ?π2,求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值. 四、(20 分) 设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标. y C1 O x P(?1,?1) C2 五、(20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足 ? aa21=aa23=aa43=aa54, ??a1+a2+a3+a4+a5=4(a11+a12+a13+a14+a15)=S. 其中 S 为实数且|S|≤2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复*面上所对应的点位于同一圆周上. 2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十二 参考答案 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结 论正确的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a 解:x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,x7=a,x8=b,….易知此数列循 环,xn+6=xn,于是 x100=x4=-a, 又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0,故 S100=2b-a.选 A. 2.如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得AEBE=FCDF=λ (0<λ<+ ∞),记 f(λ)=αλ+βλ 其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角,βλ 表示 EF 与 BD 所成的角, A 则 (A) f(λ)在(0,+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0,+∞)单调减少 E (C) f(λ) 在(0,1)单调增加,而在(1,+∞单调减少 B (D) f(λ)在(0,+∞)为常数 解:作 EG∥AC 交 BC 于 G,连 GF,则AEBE=GCGB=FCDF,故 GF∥BD.故∠GEF=αλ, C ∠GFE=βλ,但 AC⊥BD,故∠EGF=90°.故 f(λ)为常数.选 D. 3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样 的数列共有 (A)2


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