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全国高校自主招生数学模拟试卷17

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全国高校自主招生数学模拟试卷十七 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件 是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (B) a2+b2=c (C) a2+b2<c (D) a2+b2>c 2、给出下列两个命题:⑴ 设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2>c2,则 a2+b2-c2>0;⑵设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2-c2>0,则 a2+b2>c2.那么下述说法正确的是 (A)命题⑴正确,命题⑵也正确 (B)命题⑴正确,命题⑵错误 (C)命题⑴错误,命题⑵也错误 (D)命题⑴错误,命题⑵正确 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn -n-6|<1215的最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 4、已知 0<b<1,0<a<π4,则下列三数:x=(sina)logbsina,y=(cosa)logbcosa,z=(sina)logbcosa (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z 5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)( n-n 2π,π) (B)( n-n 1π,π) (C)(0,π2) (D)( n-n 2π,n-n 1π) 6、在*面直角坐标系中,方程|x2+ay|+|x2-by|=1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲 线是 (A)三角形 (B)正方形 (C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为( -1,1)和(2,2),若直线 l: x+my+m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是 . 2.已知 x,y∈[-π4,π4],a∈R 且???x43y+3s+isnixn-yc2oasy=+0a,=0则 cos(x+2y) = . 3.已知点集 A={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2≤(52)2},B={(x,y)|(x-4)2+(y-5)2>(52)2},则点集 A ∩B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 . 4.设 0<θ<π,,则 sinθ2(1+cosθ)的最大值是 . 5.已知一*面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α,则 sinα= . 6.已知 95 个数 a1,a2,a3,…,a95, 每个都只能取+1 或-1 两个值之一,那么它们 的两两之积的和 a1a2+a1a3+…+a94a95 的最小正值是 . 三、解答题 一、(本题满分 25 分) x 的二次方程 x2+z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z21-4z2=16+20i, 设这个方程的两个根 α、β,满足|α-β|=2 7,求|m|的最大值和最小值. 二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列 的第 1000 项。 三、(本题满分 35 分) 如图,设三角形的外接圆 O 径为 R,内心为 I,∠B=60?,∠A<∠C,∠A 的外角*分线交 于 E. 证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R. B 的半 EA 圆O O I C 四、 (本题满分 35 分) 给定*面上的点集 P={P1,P2,…,P1994}, P 中任三点均不共线,将 P 中的所有的点任意分成 83 组,使得每组至少有 3 个点,且每点恰好属于一组,然后将在同 一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案 G,不同的分 组方式得到不同的图案,将图案 G 中所含的以 P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G). (1)求 m(G)的最小值 m0. (2)设 G*是使 m(G*)=m0 的一个图案,若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种 颜色染色,每条线段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶 点的三边颜色相同的三角形. 2015 年全国高校自主招生数学模拟试卷十七 参考答案 一.选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件 是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (B) a2+b2=c (C) a2+b2<c (D) a2+b2>c 解:asinx+bcosx+c= a2+b2sin(x+φ)+c∈[- a2+b2+c, a2+b2+c].故选 C. 2、给出下列两个命题:(1)设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2>c2,则 a2+b2-c2>0.(2)设 a,b,c 都是复数,如果 a2+b2-c2>0,则 a2+b2>c2.那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确 解:⑴正确,⑵错误;理由:⑴a2+b2>c2,成立时,a2+b2 与 c2 都是实数,故此时 a2+b2 -c2>0 成立; ⑵ 当 a2+b2-c2>0 成立时 a2+b2-c2 是实数,但不能保证 a2+b2 与 c2 都是实数,故 a2+b2>c2 不一定成立.故选 B. 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn -n-6|<1215的最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解:(an+1-1)=-13(an


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